DISTRIBUCIÓN NORMAL Y LOGNORMAL CON EXCEL-Juan

INTRODUCCIÓN

Todos los eventos en la naturaleza, tiene un número asociado a su ocurrencia, este valor indica la probabilidad de  que el evento ocurra; pero aunque el evento tenga alta probabilidad de ocurrencia puede ser que no suceda y viceversa.

La probabilidad estimada o probabilidad empírica de un evento es la frecuencia relativa de ocurrencias del evento, cuando el número de observaciones es muy grande. La probabilidad es el límite de la frecuencia relativa, conforme el número de observaciones crece en forma indefinida (Spiegel y Stephens, 2002).

Esta `probabilidad de un evento puede determinarse por varias metodologías, lo cual depende del tipo de variable considerado (variable continua o discreta). En este reporte se indicará el cálculo de una distribución normal y lognormal mediante la planilla de Excel como una herramienta versátil.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

En esta distribución se tiende a tener varias observaciones en la variable central y poca frecuencia en los extremos. Su aplicación es en la determinación de errores experimentales (Kottegoda y Rosso, 2008).

Para su cálculo en Excel se trabajo con los datos de precipitación de la Estación de Puerto Acosta para los años 1976 y 1977. Los datos se muestran a continuación.

Tabla 1. Datos de Precipitación en la Estación de Puerto Acosta.

Fecha	mm
J-76	34,3
F-76	25,7
M-76	30,4
A-76	18,3
M-76	8,9
J-76	16,4
J-76	0
A-76	17,6
S-76	10,4
O-76	18,2
N-76	28,4
D-76	27,2
J-77	26,2
F-77	45,6
M-77	10,6
A-77	16,4
M-77	15,1
J-77	0,5
J-77	0
A-77	0,5
S-77	7,5
O-77	27,4
N-77	13,4
D-77	23,2

Lo primero que se debe realizar en la planilla Excel es obtener la media y la desviación estándar. Los resultados se muestran a continuación:

            Media = 17,59

            Desviación estándar = 11,82

Mediante estos dos parámetros se calcula la probabilidad de cada una de las variables a través de la siguiente fórmula en Excel:

            =DISTR.NORM(J4;$M$8;$M$9;VERDADERO)

Donde el primer valor es la variable x, en el ejemplo la precipitación en mm (J4). El segundo valor es la media del conjunto de los datos (17,59 mm). El tercer valor es la desviación estándar de los datos (11,82 mm) y el último valor indica el valor de probabilidad no acumulado. En la tabla 2 se puede observar los resultados.

Tabla 2. Probabilidad de los datos de precipitación (mm).

Fecha	mm	Probabilidad
J-76	34,3	0,01242712
F-76	25,7	0,02667611
M-76	30,4	0,01876329
A-76	18,3	0,03369293
M-76	8,9	0,02575663
J-76	16,4	0,03358237
J-76	0	0,01114997
A-76	17,6	0,03375349
S-76	10,4	0,02804939
O-76	18,2	0,03370882
N-76	28,4	0,02221928
D-76	27,2	0,02425568
J-77	26,2	0,02588988
F-77	45,6	0,00203666
M-77	10,6	0,02833563
A-77	16,4	0,03358237
M-77	15,1	0,03301172
J-77	0,5	0,01186398
J-77	0	0,01114997
A-77	0,5	0,01186398
S-77	7,5	0,02344297
O-77	27,4	0,02392088
N-77	13,4	0,0316962
D-77	23,2	0,03015967

Haciendo una ordenación de mayor a menor en Excel y utilizando la herramienta de gráficos, se tiene la distribución normal de los datos (figura 1).

Figura 1. Distribución normal de los datos.

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

Similar a la distribución normal, con la excepción de que el logaritmo de la variable tiende a ser normalmente distribuido. Es utilizado en las sequías e inundaciones (Kottegoda y Rosso, 2008).

Trabajando con los mismos datos de precipitación de la tabla 1, se tiene los siguiente valores de los parámetros para esta distribución.

            Media = 17,59

            Desviación estándar = 11,82

Con esta información, se aplico la fórmula para la distribución normal en las planilla de Excel:

            =DISTR.LOG.NORM(C5;$A$6;$A$7)

El primer valor es la variable x para la cual se quiere determinar la probabilidad; el segundo elemento es la media de los datos y el último valor es la desviación estándar de los datos. Con la fórmula anterior se obtuvo los siguientes resultados (Tabla 3).

Tabla 3. Probabilidad de los datos de precipitación (mm).

Fecha	mm	Probabilidad
J-76	34,3	0,117163455
F-76	25,7	0,112429451
M-76	30,4	0,115166997
A-76	18,3	0,107036994
M-76	8,9	0,096213997
J-76	16,4	0,105336794
J-76	0	#¡NUM!
A-76	17,6	0,106429817
S-76	10,4	0,098481584
O-76	18,2	0,106951541
N-76	28,4	0,114052095
D-76	27,2	0,113348815
J-77	26,2	0,112741137
F-77	45,6	0,121970323
M-77	10,6	0,098761565
A-77	16,4	0,105336794
M-77	15,1	0,104068843
J-77	0,5	0,060927802
J-77	0	#¡NUM!
A-77	0,5	0,060927802
S-77	7,5	0,093766815
O-77	27,4	0,113467938
N-77	13,4	0,102254712
D-77	23,2	0,110784337

En la tabla 3 se encuentra incoherencia en los resultados, esto es debido al concepto de esta distribución que indica que a los datos se le aplica logaritmos. Matemáticamente se sabe que no existe logaritmo de un número cero.

Realizando su respectiva curva de distribución 

Figura 2. Distribución Log normal de la precipitación. 

La figura indica que la probabilidad no excede el 14%, además indica que la relación entre la probabilidad y la precipitación existe una relacion directamente proporcional.

CONCLUSIONES

-       La aplicación de uno u otro tipo de distribución de frecuencias, depende de las variables con las que se este trabajando.

-       El cálculo de la distribución normal en Excel es sencillo de realizar como se mostró en parágrafos anteriores.

-       La curva normal y log normal varian en su forma, debido a que una distribución log normal calcula el logaritmo de los datos.

-       La distribución de log normal no puede obtenerse cuando se tienen ceros en los datos de las variables.

BIBLIOGRAFÍA

Spiegel, M. Stephens, L. 2002. Estadística. Mc Graw Hill. Tercera edición. México.

Kottegoda, N. y Rosso, R. , 2008. Applied Statistics for civil and environmental Engineers. Second edition. United kingom.

Excel, Microsoft Corporation. 2007.