miércoles, 3 de octubre de 2012

Bondad de Ajuste-Anderson Darling.Juan




INTRODUCCIÓN
Todos los elementos en la vida real están relacionados unos a otros, es imposible pensar que u elemento en la cotidianeidad esta completamente aislado; por tanto existe una interacción entre los diferentes componentes de un sistema, ya sea con el interior del sistema o con el exterior del sistema considerando las condiciones de borde.
Para determinar una ecuación que relaciones variables, un primer paso es recolectar datos que muestran los valores correspondientes de las variables en consideración. A partir de un diagrama de estos datos, es posible utilizar una curva suave que se aproxime a los datos. Tal curva se denomina curva de aproximación (Spiegel y Stephens, 2002).
La curva mencionada anteriormente puede adquirir diversos tipos de formas, lo que depende de las variables y su comportamiento que se este analizando. Por tanto otro hipótesis importante es la forma que adquiere una distribución de probabilidad. Por ejemplo puede ser necesario determinar si una variable sigue una distribución de Poisson,  exponencial, etc.
En este caso, se realizará el análisis, si una variable pertenece o se ajusta a una distribución del tipo normal; es decir a una distribución con una gran cantidad de datos en torno a un valor central y pocos valores u observaciones en los extremos de la distribución. 
BONDAD DE AJUSTE ANDERSON-DARLING
El nombre se debe a Theodore Wilbur Anderson y Donald Darling. Quienes los inventaron en el año 1952 como una de las más poderosas estadísticas para detectar alejamientos del comportamiento de la normalidad. Esta herramienta pude ser usado con muestras pequeñas  n ≤ 25. Muestras demasiado grandes puede negar la asunción de una distribución  normal.


CARACTERÍSTICAS DEL AJUSTE DARLING-ANDERSON
Este test esta enfocado a dar mayor peso a las colas de una distribución, aunque a veces se analizan como outliers.
Esta prueba es posible si se divide la diferencia entre el cdf empírico (cdf Fn) y el cdf teórico (cdf Fo) para ser evaluado:
Fn (x) – Fo (x)
Donde fo(o) es la hipotética pdf siendo su equivalente:
                                    A2 = -n - ∑ (2i - 1) (lnFo(xi) + ln(1 – Fo(x-i, dx)
(Kottegoda y Rosso, 2006).

CÁLCULO DELTEST DARLING-ANDERSON
Se tienen los datos de precipitación para una determinada zona, esta variable que se midió se quiere determinar si sigue una distribución normal. (Tabla 1).
Tabla 1. Datos de Precipitación en mm.
Precipitacion
1414
1496
1411
1330
1364
1617
1868
1344
1195
1781
1484
1360
1428
1054
1152

El primer paso es ordenar los datos de menor a mayor colocando un rango correspondiendo el menor valor al 1 y el mayor valor a .n (Tabla 2).
Tabla 2. Datos ordenados con sus respectivos rangos.
Rango
Precipitacion
1
1054
2
1152
3
1195
4
1330
5
1344
6
1360
7
1364
8
1411
9
1414
10
1428
11
1484
12
1496
13
1617
14
1781
15
1868

Después de ello se debe calcular el prime término de la ecuación de Darling-Anderson
  Por último se calcula:
                A* = A2 (1,0 + 0,75/15  + 2,25/152 = 0,42
                A* = 0,752 (Valor crítico)

Entonces,  como el valor hallado es menor al valor crítico, la variable sigue una distribución normal.

CONCLUSIONES
-       Todas las distribuciones presentan formas que las distinguen unas de otras y dependen del tipo de dato con que se trabaja.
-       Las relaciones existentes entre elementos en la naturaleza pueden describirse mediante distribuciones.
-       No siempre los variables ajustan a un tipo particular de distribución de datos, por lo que surge las pruebas de bondad de ajustes com una medida de lo bien que pueden ajustar una serie de datos a una distribución particular.
-       El cálculo de la bondad de ajuste por Darling- Anderson es relativamente sencillo , pero también se pueden recurrir a otros métodos de bondad de ajustes.
BIBLIOGRAFÍA
Spiegel, M., y Stephens, L. 2002. Estadística. Tercera Edición. Mc Graw Hill.

Kottegoda, and Rosso, 2006. Applied Statistics for Civil and environmental engineers. Second edition.

Stephens, M. A. (1974). "EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons". Journal of the American Statistical Association 69: 730–737. doi:10.2307/2286009.

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